In matematica, una funzione è detta continua se, intuitivamente, il suo grafico può essere disegnato senza alzare la penna dal foglio. Più formalmente, una funzione f è continua in un punto x₀ se il valore della funzione in quel punto si avvicina arbitrariamente al valore della funzione in punti "vicini" a x₀.
Definizione Formale:
Una funzione f: A → R, dove A ⊆ R, è continua in un punto x₀ ∈ A se, per ogni ε > 0, esiste un δ > 0 tale che per ogni x ∈ A con |x - x₀| < δ, si ha |f(x) - f(x₀)| < ε.
Questa definizione, detta anche la definizione%20epsilon-delta di continuità, formalizza l'idea di "vicinanza". Dice che possiamo rendere i valori di f(x) arbitrariamente vicini a f(x₀) semplicemente scegliendo x sufficientemente vicino a x₀.
Continuità su un Intervallo:
Una funzione è continua su un intervallo se è continua in ogni punto dell'intervallo.
Tipi di Discontinuità:
Esistono diversi tipi di discontinuità che una funzione può presentare:
Proprietà Importanti delle Funzioni Continue:
Esempi:
La continuità è un concetto fondamentale nell'analisi matematica e ha applicazioni in molti campi, tra cui fisica, ingegneria ed economia.
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